$以下，関数 f(x), g(x) は閉区間Iで微分可能であるとする．$
$ 3 導関数の性質$
$ 商 \displaystyle \{\frac{f(x)}{g(x)}\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)}^2$
$証明$
$3 任意のa \in Iについて$
\begin{array}\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}-\displaystyle \frac{f(a)}{g(a)}}{x-a}&=\displaystyle \frac{f(x)g(a)-f(a)g(x)}{(x-a)g(x)g(a)}~~~~~\fbox{分母分子に$g(x)g(a)$をかけた}\\&=\displaystyle \frac{f(x)g(a)-f(a)g(a)+f(a)g(a)-f(a)g(x)}{(x-a)g(x)g(a)}~~~~~\fbox{$-f(a)g(a)+f(a)g(a)=0$より}\\&=\displaystyle \frac{\{f(x)-f(a)\}g(a)-f(a)\{g(x)-g(a)\}}{x-a} \cdot \frac{1}{g(x)g(a)}&\\&=\displaystyle \{ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot g(a)-f(a)\cdot \frac{g(x)-g(a)}{x-a}\} \cdot \frac{1}{g(x)g(a)}&\\\end{array}
$関数g(x)はx=aで微分可能であるからx=aで連続である．$
$よって，x\rightarrow aとしたときg(x)はg(a)に収束する．$
$また，関数f(x),g(x)はx=aで微分可能であることからx\rightarrow aとしたとき$
$\displaystyle \{\frac{f(a)}{g(a)}\}’=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)}^2$
$以上より区間Iにおいて\displaystyle \{\frac{f(x)}{g(x)}\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)}^2が成り立つ．$
一言
$無を見えるようにするのは見通し$
$無をどう表すかは？$
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