片側極限と極限

証明

$(\Rightarrow)を示す．$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\alphaより$

$任意の\epsilon>0に対して|x-a|<\delta\cdots➀を満たす任意のxに対し\\|f(x)-\alpha|<\epsilonを満たすような\deltaが存在する$

$ここで，➀より-\delta<x-a<\delta\cdotsであるからa-x<\deltaが言える．$

$また，x<aとすると0<a-x．$

$よって，0<a-x<\delta．➀をこれで読み換えると左極限\displaystyle \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=\alphaが言える．$

$同様にして，右極限\displaystyle \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=\alpha$

$(\Leftarrow)を示す．$

$また，\displaystyle \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=\alphaであるから$

$任意の\epsilon_1>0に対して0<x-a<\delta_1を満たす任意のxに対し\\|f(x)-\alpha|<\epsilonを満たすような\delta_1が存在する$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=\alphaであるから$

$任意の\epsilon_2>0に対して0<a-x<\delta_2を満たす任意のxに対し\\|f(x)-\alpha|<\epsilonを満たすような\delta_2が存在する$

$任意の\epsilon>0に対して\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}>0とすると$

$|x-a|<\deltaを満たすxは0<x-a<\delta<=\delta_1または0<a-x<\delta<=\delta_2を満たす$

$任意の\epsilon>0に対して\delta>0が存在して\\|x-a|<\deltaを満たす任意のxに対し|f(x)-\alpha|<\epsilonが成り立つ$

一言

$百聞は一見に如かず$

$一見を理解するには百聞が必要な時もある$

$以下は連続関数の左極限\displaystyle \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)と右極限\displaystyle \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)を図示してみたものです．（使いずらいため後で改良します）．$